Высота правильной треугольной призмы \({ABCA'B'C}'\) с основанием \({ABC}\) и боковыми рёбрами \({AA'},{BB'},{CC'}\) равна \(1\). Найдите длину ребра основания, если известно, что \({AB'}\perp {BC'}.\)

Решение

Обозначим ребро основания призмы за \(a.\) Отложим от верхнего основания \(A'B'C'\) призмы призму \(A'B'C'A''B''C''\), с рёбрами \(A'A'',B'B'',C'C''\) равными \(1\). Тогда \(AB'\perp B'C''\), т.к. \(B'C'' \parallel BC'\) и лежат в одной плоскости.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABB'\), \(AA''C''\) и \(C'B'C''\) и по теореме Пифагора получим соотношения для сторон \(AB'\), \(AC''\) и \(B'C''\):
\begin{equation*}
{AB'}^2={AB}^2+{BB'}^2=1+a^2,\\
{AC''}^2={AA''}^2+{A''C''}^2=2^2+a^2=4+a^2,\\
{B'C''}^2={C'C''}^2+{C'B'}^2=1+a^2.
\end{equation*}
Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(AB'C''\) получим, что

\({AC''}^2={AB'}^2+{B'C''}^2=1+a^2+1+a^2=2+a^2.\)

Получим уравнение \(2+2a^2=4+a^2 \Leftrightarrow a^2=2 \Rightarrow a=\sqrt{\mathstrut2}.\)

Ответ: \(\sqrt{2}\).