Решите неравенство \((4^x - 7 \cdot 2^{x} + 12) \cdot \sqrt{3^{x + 1} - 1} \leqslant 0.\)

Решение

Найдем область определения неравенства - выражение под корнем должно быть неотрицательно: \(3^{x + 1} - 1\geqslant 0 \Leftrightarrow x+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -1.\)

Корень неотрицателен и принимает значение \(0\) при \(x=-1\), значит нам нужно исследовать \((4^x - 7 \cdot 2^{x} + 12).\)
Сделаем замену \(t = 2^x.\) Тогда наше выражение примет вид \(t^2-7t+12 = (t-4)(t-3)\), так как \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-vieta/}{\text{по теореме Виета}}\) \(4+3 = 7\) и \(4*3 = 12\). Оно будет \(\leqslant 0\) тогда, когда \(t\in[3,4] \Leftrightarrow 2^x\in[3,4] \Leftrightarrow x\in[log_2 3, 2]\). Тогда неравенство будет верно при \(x\in \{ -1\}\cup [log_2 3, 2].\)

Ответ: \([\log_2 3; 2]\cup\{-1\}\).