Решите уравнение \((\sin x + \cos x)^2 = 1.\)

Решение

Раскроем скобки
\[\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1.\]

Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x+\cos^2 x=1,\) получим
\[2\sin x\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad\sin 2 x=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x=\pi k, k \in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{\pi k}2, k \in\mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\dfrac{\pi k}{2}, k \in Z\).