Медианы \(PE\) и \(QF\) треугольника \(PQR\) пересекаются в точке \(S\). Найдите длину отрезка \(PQ\), если \(SR = 2\) и известно, что вокруг четырехугольника \(SERF\) можно описать окружность.

Решение

Пусть \(SF = x\) и \(QS = 2x\), а \(SE = y\) и \(PS = 2y\) по теореме \(\href{https://examp.info/theorem/o-medianah/}{\text{о точке пересечения медиан}}\). Пусть \(\angle PER = \alpha\), тогда \(\angle QFR = 180^{\circ} - \alpha\), так как противоположные \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{углы вписанного четырехугольника}}\) в сумме равны \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle QFP = \angle PER = \alpha.\) Угол \(P\) общий у треугольников \(PFS\) и \(PER\). Они подобны по двум углам, значит имеет место: \(\dfrac{2y}{2PF} = \dfrac{PF}{3y} = \dfrac{x}{RE}\), отсюда получим, что \(PF = y \sqrt{3}\), \(RE = x \sqrt{3}\).
Пусть \(\beta = \angle QSP = \angle FSE\) (углы равны так как вертикальные), тогда \(\angle QRP = 180^{\circ} - \beta\) (противоположные углы вписанного четырехугольника). Тогда \(\cos (\angle QSP) = - \cos (\angle QRP)\)
По \(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теореме косинусов}}\) в треугольнике \(QSP:\) \(\cos (\angle QSP) = \dfrac{-AB^2 + 4x^2 + 4y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y}\);
а в треугольнике \(QRP:\) \(\cos (\angle QRP) = \dfrac{-QP^2 + 12x^2 + 12y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 3}\).
Следовательно: \[\frac{-QP^2 + 4x^2 + 4y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y} = - \frac{-QP^2 + 12x^2 + 12y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 3}. \Leftrightarrow\]\[ \Leftrightarrow 12x^2 + 12y^2 - 3QP^2 = QP^2 - 12x^2 - 12y^2. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow QP^2 = 6x^2 + 6y^2.\]
Проведем дополнительное построение. Построим параллелограмм \(QSPM,\) где \(PM\) параллельно \(QS\) и \(QM\) параллельно \(PS.\) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения (\(L\)) делятся пополам и \(SL = \dfrac{1}{2} ES\), то \(SM = 2 SL = RS\). В параллелограмме \(QSPM\) \(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей}}\): \[SM^2 + QP^2 = 2(QS^2 + PS^2) \Rightarrow QP^2 + 12 = 8x^2 + 8y^2.\] \[QP^2 = 6x^2 + 6y^2 = \frac{3}{4} (8x^2 + 8y^2) \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 4QP^2 = 3(8x^2 + 8y^2) = 3 (QP^2 + 12) \Leftrightarrow \]\[\Leftrightarrow QP^2 = 36 \Leftrightarrow QP = 6.\]

Ответ: \(3\).