Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 5x^2 - 2xy + 9y^2 \leqslant 1, \\ 3x - 5y \leqslant -2. \end{array} \right. \)

Решение

\[3x-5y\leqslant-2\Rightarrow(3x-5y)^2\geqslant 4\Leftrightarrow-9x^2+30xy-25y^2\leqslant-4.\] Сложим последнее неравенство с первым неравенством системы, умноженным на 4. Получим
\[11x^2+22xy+11y^2\leqslant0\Leftrightarrow11(x+y)^2\leqslant0\Leftrightarrow x=-y.\]При этом во всех неравенствах должны выполняться равенства: \(x=-y\), \(3x-5y=-2\). Отсюда \(x=-\dfrac14\), \(y=\dfrac1{4}\). Подставив эти значения в первое неравенство системы, убеждаемся, что оно выполняется.

Ответ: \(x=-\frac14, y=\frac1{4}\).