Трапеция \(KLMN\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\), причём \(R = \frac{3r}{2}\). Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ \(KM\) равна \(3\).

Решение

Обозначим \(\angle MKH = \alpha\). Пусть \(MH\) — высота трапеции. Тогда
\[
MH = 2r, \quad \sin\alpha = \frac{MH}{KM} = \frac{2r}{3}.
\]

Окружность, описанная около трапеции, — это окружность, описанная около треугольника \(KMN\). По \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теореме синусов}}\):
\[
MN = 2R\sin\alpha = 2\cdot \frac{3r}{2} \cdot \frac{2r}{3} = 2r^2.
\]

Пусть средняя линия трапеции равна \(l\). Трапеция \(KLMN\) \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{вписана в окружность}}\), поэтому равнобедренная и \(\href{https://examp.info/theorem/opisannogo-chetyrehugolnika/}{\text{описанная}}\), поэтому
\[
l = KH = MN = 2r^2.
\]
По теореме Пифагора:
\[
KH^2 + MH^2 = KM^2 \Leftrightarrow 4r^4+ 4r^2 = 9,
\]
откуда находим, что \(r^2 = \frac{\sqrt{10} - 1}{2}\). Следовательно,
\[
l = 2r^2 = \sqrt{10} - 1.
\]

Ответ: \(\sqrt{10} - 1\).