Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны \(-\frac 57\) и \(\frac 94\), а свободный член равен -5.

Решение

Представим многочлен в виде \(f(x) = ax^2+bx-5.\) Так как \(-\frac{5}{7}\) и \(\frac{9}{4}\) - его корни, то \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-vieta/}{\text{по теореме Виета}}\)
\[
-\frac{5}{7}\cdot\frac{9}{4} = \frac{c}{a}=\frac{-5}{a}
\Leftrightarrow
\]\[
a = \frac{5\cdot7\cdot4}{5\cdot9} = \frac{28}{9}\]
\[-\frac{5}{7} + \frac{9}{4} = -\frac{b}{a}=-\frac{9b}{28} \Leftrightarrow
\]\[
\frac{43}{28} = -\frac{9b}{28} \Leftrightarrow
\]\[ b = -\frac{43}{9}\]
и искомым многочленом будет \(f(x) =\frac{28}{9}x^2-\frac{43}{9}x-5\).

Ответ: \(\frac{28}{9}x^2-\frac{43}{9}x-5\).