От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно 14 км. В 7:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В 7:38, когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что они идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника — в 7:50. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Решение

В момент выхода рыбинспекции из биостанции расстояние между катерами составляло S м. Так как против течения реки они двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда рыбинспекция, развернувшись, двинулась назад в сторону биостанции, расстояние между браконьерами и рыбинспекцией составляло S м. Согласно условию в этот момент расстояние по реке от браконьеров до границы заповедника также составляло S метров. Эти последние S метров пути катер браконьеров проплыл за 12 минут, двигаясь против течения. Следовательно, его скорость относительно берега при движении против течения реки равна \(\frac{S}{12} = v\) м/мин.

14000 метров — расстояние между сёлами границей заповедника и биостанцией и \(v'\) м/мин — скорость катеров относительно берега при движении по течению реки. Ясно, что \(v' > v\).

Из сказанного выше следует, что в момент разворота катера рыбинспекции расстояние по реке от него до границы заповедника равнялось 2S метров, а длина обратного пути рыбинспекции до села биостанции равнялась \(14000 - 2S\) метров. Рыбинспекция проплыла этот путь по течению реки за 12 минуты, поэтому \(14000 - 2S = 12v'\) или \(v' = \frac{14000 - 2S}{12}\) метров.

По условию катер браконьеров до разворота проплыл \(14000 - S\) метров, затратив на весь свой путь 50 минут. Поэтому
\[
\frac{14000 - S}{v} + \frac{14000 - S}{v'} = 50.
\]

Подставляя в это равенство \(\frac{14000 - 2S}{12}\) вместо \(v'\) и \(\frac{S}{12}\) вместо \(v\) и обозначим \(l = 14000\), и заметим, что S не может быть равно 0 или 7000, получаем:
\[
\frac{12(14000 - S)}{S} + \frac{12(14000 - S)}{14000 - 2S} - 50 = 0 \Leftrightarrow \frac{12(l - S)(l - 2S) + 12S(l - S) - 50S(l-2S)}{S(l - 2S)} = 0 \Leftrightarrow 12l^2 - 74Sl + 112S^2 = 0 \Leftrightarrow 56S^2 -37SL -6l^2 = 0
\]

Решая это \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{уравнение}}\), находим корни \(S_1 = 4\) км, \(x_2 = \frac{21}{4}\) км. Если рассмотреть второй корень, то получим \(v > v'\), что не подходит. Получаем: \(S = 4000\). Стало быть, искомое расстояние равно 4 км.

Ответ: \(4\) км.