Найдите площадь фигуры, состоящей из точек \((x, y)\) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению \( |x| + |x + 3y| + 3|y - 2| = 6.\)

Решение

Рассмотрим прямые \(x=0, \quad y=-\dfrac{x}{3}, \quad y=2\). Нарисуем их и получим, что они делят нашу плоскость на 7 областей. Единственная ограниченная область - треугольник, площадь которого нам и нужно найти.

Точка пересечения \(x=0\) и \(y=-\frac{x}{3}\) имеет координаты \( (0; 0) \).

Точка пересечения \(x=0\) и \(y=2\) имеет координаты \( (0; 2) \).

Точка пересечения \(y=-\dfrac{x}{3}\) и \(y=2\) имеет координаты \( (-6;2) \).

Треугольник прямоугольный, так как прямые \(x=0\) и \(y=2\) перпендикулярны. Тогда, посчитаем площадь треугольника как полупроизведение катетов: \( \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{(0-0)^2+(0-2)^2} \cdot \sqrt{(0+6)^2+(2-2)^2}= 6 \).

Ответ: \(6\).