Медианы \( AL\) и \(BM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(K\). Найдите длину отрезка \(CK\), если \(AB = \sqrt{3}\) и известно, что вокруг четырехугольника \(KLCM\) можно описать окружность.

Решение

Пусть \(KL = x\) и \(AK = 2x,\) a \(KM = y\) и \(BK = 2y\) (\(\href{https://examp.info/theorem/o-medianah/}{\text{по свойству медиан треугольника}}\)).
Пусть \(\angle BMC = \alpha,\) тогда \(\angle ALC = 180°-\alpha\) (по \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{теореме о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника}}\)), тогда \(\angle ALB = \angle BMC = \alpha.\)
Треугольники \(BLK\) и \(BMC\) подобны по двум углам, следовательно \(\dfrac{2y}{2BL} = \dfrac{BL}{3y} = \dfrac{x}{CM},\) из чего получим, что \(BL = \sqrt{3}y, CM = \sqrt{3}x.\)
Пусть \(\angle AKB = \angle LKM = \beta,\) тогда \(\angle ACB = 180°- \beta\) (по \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{теореме о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника}}\)).
По \(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теореме косинусов}}\):
\[\triangle AKB: \cos \angle AKB = \dfrac{4x^2+4y^2-3}{8xy};\]\[\triangle ACB: \cos \angle ACB = \dfrac{4x^2+4y^2-1}{8xy}.\]\[\cos \angle AKB = - \cos \angle ACB\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 4x^2+4y^2-3 = -(4x^2+4y^2-1)\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 8x^2+8y^2 = 4.\]
Дополнительное построение: проведём \(BQ\) параллельно \(AK\) и \(AQ\) параллельно \(BK\), \(QBKA\) — параллелограмм, \(CK = 2KP = KQ = \sqrt{8x^2+8y^2-3} = 1\) (\(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей}}\)).

Ответ: \(1\).