Найдите наибольшее из значений функции \[\cfrac{4^x}{2\cdot 5^{2x} - 10^x + 4^{x}}\]и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Решение

Запишем исследуемую функцию в следующем виде:
\[f(x) = \cfrac{1}{2\cdot \cfrac{5^{2x}}{2^{2x}} - \cfrac{5^x}{2^{x}} + 1}.\]Для того, чтобы значение функции было максимальным, значение знаменателя должно быть минимальным. Сделав замену \( t = \left(\cfrac{5}{2}\right)^x,\) получаем \(f(t) = \cfrac{1}{2t^2 - t + 1}.\)

Рассмотрим функцию \[ g(t) = 2t^2 - t + 1 \]и найдем \(\href{https://examp.info/onedef/kriticheskaya-tochka/}{\text{критическую точку}}\) \(t_0\):\[g'(t_0) = 4t_0 - 1 = 0 \Rightarrow t_0=\cfrac{1}{4}.\]Из существования и положительности второй производной, точка \( t_0 = \cfrac{1}{4} \) является точкой минимума. Значит, \( g\left(\cfrac{1}{4}\right) = \cfrac{1}{8} - \cfrac{1}{4} + 1 = \cfrac{7}{8} \) \(-\) минимальное значение. Тогда \( f(t_0) = \cfrac{8}{7} \) \(-\) максимальное значение этой функции. Найдем аргумент, при котором оно достигается:\[\left(\cfrac{5}{2}\right)^x = t_0 = \cfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left(\cfrac{2}{5}\right)^x = 4 \Leftrightarrow x = \log_{\frac{2}{5}}4. \]

Ответ: \(f_{max}=\cfrac{8}{7}; x=\log_{\frac25} 4\).