Решите уравнение \(\frac{\cos 3x}{\sin 2x} + \frac{\sin 3x}{\cos 2x} = \frac{\sin 2x}{\cos 3x} + \frac{\cos 2x}{\sin 3x}\).

Решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи \(\href{https://examp.info/theorem/sinusa-kosinusa-tangensa-summy-i-raznosti-uglov/}{\text{формул косинуса разности углов и синуса двойного угла}}\):\[
\frac{\cos x}{\frac{1}{2}\sin 4x} = \frac{\cos x}{\frac{1}{2}\sin 6x} \Leftrightarrow \frac{\cos x(\sin 4x - \sin 6x)}{\sin4x \sin6x} = 0.
\] Далее, используя разность синусов:\[
\frac{2\cos x \sin (-x) \cos 5x}{\sin4x \sin6x} = 0 \Leftrightarrow \frac{-\sin 2x \cos 5x}{\sin4x \sin6x} = 0 \Leftrightarrow \frac{-\cos 5x}{2 \cos2x \sin6x} = 0
\]Получаем систему:\[
\left\{ \begin{array}{l} \cos5x = 0 \\ \cos2x \not = 0 \\ \sin6x \not = 0 \end{array} \right.
\]Нули у \(\cos5x\) равны \(\frac{\pi + 2k\pi}{10}, k \in \mathbb{Z}\) есть пересечение с нулями \(\sin6x\), у \(\cos2x\) пересечений нет, а у \(\sin6x\), если \(1 + 2k\) делится на 5.
Получаем, что подходящие нули \(\frac{\pi k}{10} , k \in \mathbb{Z}, k \not \vdots \ 2, k \not \vdots \ 5\).

Ответ: \(\frac{\pi k}{10}, k \in \mathbb{Z}, k \not \vdots \ 2, k \not \vdots \ 5\).