Решите уравнение \(\log_3(5 - 2x) = \log_9(5 + x).\)

Решение

Применим \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma}{\text{свойства логарифмов:}}\)
\[\log_3 (5 - 2x) = \log_9 (5 + x). \Rightarrow\]\[\Rightarrow \log_3 (5 - 2x) = \log_{3^2} (5 + x). \Rightarrow\]\[\Rightarrow \log_3 (5 - 2x) = \log_3 (5 + x)^{\frac{1}{2}}. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 5 - 2x = (5 + x)^{\frac{1}{2}}.\]
Найдём \(\href{https://examp.info/onedef/oblast-dopustimyh-znachenij/}{\text{ОДЗ(область допустимых значений)}}\):
\[\left\{\begin{array}{l}
5 + x > 0, \\
5 - 2x >0.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x > - 5, \\
x < 2{,}5.
\end{array}\right.\]
Тогда можем возвести в квадрат последнее равенство:
\[5 - 2x = (5 + x)^{\frac{1}{2}}. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 25 - 20x + 4x^2 = 5 + x. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 4x^2 - 21x + 20 = 0.\]
\(D = 21^2 -16 \cdot 20 = 441 - 320 = 121 = 11^2.\)

\(x = \dfrac{21 \pm 11}{8} =
\left[
\begin{array}{l}
4, \\
\dfrac{5}{4}.
\end{array}\right.\)
При условии ОДЗ остается, что \(x = \dfrac{5}{4}.\)

Ответ: \(\frac{5}4\).