Старший коэффициент \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{квадратного трехчлена }}\)\(f(x)\) равен 3. Один из его корней равен \(\frac 43\). Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = -2\).

Решение

Общий вид квадратного трёхчлена выглядит так: \(ax^2 + bx + c = f(x)\). Поэтому \(f(0) = c\), по \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-vieta/}{\text{теореме Виета}}\) получаем, что произведение корней равно \(-\frac{2}{3}\). Следовательно, второй корень равен \(-\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{2}\).

Можно рассуждать иначе, без использования теоремы Виета. Из условия следует, что\(f(x) = 3x^2 +bx -2\) с некоторым \(b\). подставляя \(x = \frac{4}{3}\). получаем \(3\left(\frac{4}{3}\right)^2 + b\left(\frac{4}{3}\right) - 2 = 0\), откуда находим, что \(b = -\frac{5}{2}\). остаётся применить формулу \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{квадратного уравнения}}\).

Ответ: \(-\frac 12\).