Решите уравнение \(\frac{\cos 4x}{\sin 3x} - \frac{\sin 4x}{\cos 3x} = \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \frac{\cos 3x}{\sin 4x}\).

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/preobrazovaniya-summy-i-proizvedeniya-trigonometricheskih-funkcij/}{\text{формулы преобразования}}\), упростим левую и правую части тригонометрического выражения:
\begin{equation*}
\frac{\cos4x \cdot \cos 3x - \sin 4x \sin 3x}{\cos 3x \cdot \sin 3x} = \frac{\sin 3x\sin 4x - \cos 3x \cos 4x}{\cos 4x \cdot \sin 4x} \quad\Leftrightarrow\quad
\end{equation*}
\begin{equation*}
\quad\Leftrightarrow\quad \frac{\cos 7x}{\cos 3x \cdot \sin 3x} = \frac{-\cos 7x}{\cos 4x \cdot \sin 4x}
\quad\Leftrightarrow\quad \cos 7x \left( \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 6x} + \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 8x} \right) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad
\end{equation*}
\begin{equation*} \quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\cos 7x \cdot \sin 7x \cdot \cos x}{\sin 6x \cdot \sin 8x} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\sin 14x \cdot \cos x}{\sin 6x \cdot \sin 8x} = 0.
\end{equation*}
Откуда получаем:

\[ \left\{
\begin{array}{l}
\sin 6x \neq 0 \\
\sin 8x \neq 0\\
\left [ \begin{array}{c}
\sin 14x = 0 \\
\cos x = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{array}{lc}
x \neq \frac{\pi n}{6} \\
x \neq \frac{\pi n}{8} \\
\left[ \begin{array}{c}
x = \frac{\pi n}{14} \\
x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\end{array}
\right.
\end{array} \right. \quad n \in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\frac{\pi n}{14}, n \in \mathbb{Z}, 7 \nmid \ n\).