Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \( a\sqrt{\mathstrut {x + y}} = \sqrt{2x} + \sqrt{3y} \) имеет единственное решение \((x, y)\).

Решение

Найдём область определения равенства: \(x \geqslant 0;\quad y \geqslant 0.\)

Заметим, что для любого решения \(\left(x,y\right)\) решением так же будет и \(\left(kx,ky\right), k\geqslant0\).
\(a\cdot\sqrt{\mathstrut{kx+ky}}=\sqrt{2kx} + \sqrt{3ky} |:\sqrt{k} \Rightarrow \\ a\cdot\sqrt{\mathstrut{x+y}} = \sqrt{2x} +\sqrt{3y}.\)
Тогда нам остаётся найти \(a\) такие, что \(\left(0,0\right)\) - единственное решение.

Если решение было ненулевым, то \(x+y>0\). Домножая решение на \(k=\frac{1}{x+y},\) получим решение, сумма координат которого равна \(1, \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1.\) Тогда рассмотрим наше выражение при \(x+y = 1.\) \(a=\sqrt{2x}+\sqrt{3y}=\sqrt{2x}+\sqrt{3-3x} = f\left(x\right), x\in\left[0,1\right]\). Нам осталось исключить множество значений функции \(f\), то есть найти то множество, значения которого не может принять функция \(f\).

\(f′(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}\cdot2\cdot\frac{1}{2}-\frac{3}{2\sqrt{3-3x}}=0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{3}{2\sqrt{3-3x}} \Rightarrow \frac{1}{2x} = \frac{9}{4(3-3x)} \Rightarrow 12-12x = 18x \Rightarrow x = \frac{2}{5},\) то есть в точке \(\frac{2}{5}\) \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{экстремум}}\).

\(f(0) =\sqrt{3}, f(1)=\sqrt{2},f(\frac{2}{5}) = \sqrt{\mathstrut{\frac{4}{5}}} + \sqrt{\mathstrut{\frac{9}{5}}} = \sqrt{5}\Rightarrow\), получаем, что \(\frac{2}{5}\) точка максимума на отрезке [0,1], следовательно множество значений \(f(x)\) \(-\) это отрезок \(\left[\sqrt{2},\sqrt{5}\right].\)

Тогда множество параметров, при которых решение единственно \(-\)
\((-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{5},\infty).\)

Ответ: \((-\infty; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)\).