Решите уравнение \(\frac{\sin 5x}{\sin x} - \frac{\cos 5x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\sin 5x} - \frac{\cos x}{\cos 5x}\).

Решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи \(\href{https://examp.info/theorem/sinusa-kosinusa-tangensa-summy-i-raznosti-uglov/}{\text{формул синуса разности и синуса двойного угла:}}\).

\[
\frac{\sin 4x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{\sin(-4x)}{\frac{1}{2}\sin 10x}.
\]

Это равносильно тому, что
\[
\frac{\sin 4x(\sin 2x + \sin 10x)}{\sin 2x\sin 10x} = 0.
\]

Преобразуем сумму синусов в произведение:
\[
\frac{\sin 4x\sin 6x\cos 4x}{\sin 2x\sin 10x} = 0.
\]

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\[
\frac{\sin 8x\sin 6x}{\sin 2x\sin 10x} = 0.
\]

Учитывая, что нули функции \(\sin 2x\) являются нулями функции \(\sin 10x\), получаем:
\[
\begin{cases}
\sin 6x = 0, \\
\sin 8x = 0, \\
\sin 10x \neq 0.
\end{cases}
\]

Общие нули \(\sin 6x\) и \(\sin 10x\) имеют вид \(\frac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\). Точно так же выглядят общие нули \(\sin 8x\) и \(\sin 10x\). Следовательно, из серий \(\frac{n\pi}{6}, \frac{m\pi}{8}, \; n, m \in \mathbb{Z}\), нужно исключить числа вида \(\frac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \( x = \frac{n\pi}{6}, \frac{m\pi}{8}, \; n \in \mathbb{Z} \setminus \{3k\}, \; m \in \mathbb{Z} \setminus \{2k\}, \; k \in \mathbb{Z} \).