Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{9^x}{4^x - 6^x + 9^x}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Решение

\(f(x) = \dfrac{9^x}{4^x - 6^x + 9^x}=\dfrac{1}{{\left( \frac23 \right)^{2x}} - {\left( \frac 23 \right)^{x}} + 1}=\dfrac{1}{{\left(\left(\frac23\right)^{x}- \frac12\right)^2}+\frac34}\).
Так как \(\left(\left(\frac23\right)^{x}- \frac12\right)^2+\frac34\geqslant\frac34\), то \(f(x)\leqslant \frac43\) и \(f(x)=\frac43\) при \(x=\log_{\frac23} \frac12=-\log_{\frac23} 2\).

Ответ: \(f_{max}=\frac{4}{3}; x=-\log_{\frac23} 2\).