Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\). Найдите \(r\), если \(R = 12\), а косинус угла между диагональю \(AC\) и основанием \(AD\) равен \(3/4.\)

Решение

Из того, что трапеция \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{вписана}}\), следует, что она \(\href{https://examp.info/onedef/ravnobokaya-trapeciya/}{\text{равнобедренная}}\).
Положим \( AB = CD = c\), \( BC = b \), \( AD = a \). Не ограничивая общности, можно считать, что \( a \geq b \). Из того, что трапеция описана, следует, что \( b + a= 2c \). Опустим перпендикуляр \( CK \) на сторону \( AD \). Тогда \( CK = 2r \), \( AK = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = c \) (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив \( \varphi = \angle CAD \), получаем:

\[
\operatorname{tg} \alpha= \frac{2r}{c}.
\tag{1}
\]

С другой стороны, (по \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теореме синусов}}\)), примененной к треугольнику \( CAD \),

\[
\sin \alpha = \frac{c}{2R}.
\tag{2}
\]

Перемножая (1) и (2), находим:

\[
\frac{r}{R} = \frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha.
\]

Подставляя \( R = 12 \), \(\cos \alpha = 3/4\), получаем \( r = 7 \).

Ответ: \(7\).