Решите уравнение \((\sin x + \cos x)^2 = 2\).

Решение

\[(\sin x + \cos x)^2 = 2 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x = 2.\]
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и формулой синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha.\)
\[ \sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x = 2 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 1 + \sin2x = 2 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \sin2x = 1 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).