Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\), причем \(R = 2r\). Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ \(AC\) равна \(4\).

Решение

Пусть \(KL\) средняя линия трапеции. Из того, что трапеция \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{вписана}}\), следует, что она \(\href{https://examp.info/onedef/ravnobokaya-trapeciya/}{\text{равнобокая}}\). Положим \(AB = CD = a, DC = b, AD = c\). Не ограничивая общности, можно считать, что \( c geqslant b\). Из того, что \(\href{https://examp.info/theorem/opisannogo-chetyrehugolnika/}{\text{трапеция описана}}\), следует, что \(b + c = 2a\). Опустим перпендикуляр \(CH\) на сторону \(AD\). Тогда \(CH = 2r, AH = \frac{c}{2} + \frac{b}{2} = a\), чему и равняется \(\href{https://examp.info/theorem/o-srednej-linii-trapecii/}{\text{средняя линия трапеции}}\) (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив \(\varphi = \angle CAD\), получаем:\[
\tan\varphi = \frac{2r}{a}.
\]С другой стороны, по \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теореме синусов}}\), применённой к треугольнику \(CAD\):\[
\sin{\varphi} = \frac{a}{2R}.
\]Перемножая вышеперечисленные уравнения получаем:\[
\frac{r}{R} = \frac{\sin^2\varphi}{\cos\varphi} = \frac{1 - \cos^2\varphi}{\cos\varphi} = \frac{1}{2}.
\] Из этого мы получаем \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{квадратное уравнение}}\) \(2\cos^2\varphi\ + \cos\varphi - 2 = 0\) на \(\cos\varphi\), где корень должен лежать между -1 и 1, получаем:\[
\cos\varphi = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}.
\]Первый очевидно нам не подходит, так как он меньше -1, остаётся \(\frac{\sqrt{17} - 1}{4}\). В итоге:\[
KL = AH = AC\cdot \cos\varphi = 4\cdot \frac{\sqrt{17} - 1}{4} = \sqrt{17} - 1.
\]

Ответ: \(\sqrt{17} - 1\).