Старший коэффициент квадратного трехчлена \(f(x)\) равен 2. Один из его корней равен \(\frac 52.\) Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = 3\).

Решение

Рассмотрим общий вид квадратного трёхчлена
\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]
Согласно условию, \(a = 2\). Кроме того, из условия, что \(f(0) = 3\), сразу получаем значение свободного коэффициента: \(c = 3\)
Далее, зная один из корней трёхчлена, найдем коэффициент \(b\)

\(2\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2 + b\dfrac{5}{2} + 3 = 0 \Rightarrow b =-\dfrac{31}{5}\)

Теперь остаётся только решить квадратное уравнение

\[
2x^2 -\dfrac{31}{5}x + 3 = 0 \iff 10x^2 -31x + 15 = 0
\]\[
D = 31^2 - 4\cdot10\cdot 15 = 961 - 600 = 361 = 19^2
\]\[
x = \dfrac{31 \pm 19}{20} = \left[\begin{array}{ccr} x = \dfrac{5}{2}\\x = \dfrac{3}{5} \end{array}\right.
\]

Искомый корень: \(x = \dfrac{3}{5}\)

Ответ: \(\frac 35\).