Решите уравнение \[\log_2(1 - 3x) = \log_4(5x - 1).\]

Решение

Запишем \(\href{https://examp.info/onedef/oblast-dopustimyh-znachenij/}{\text{ОДЗ}}\), исходя из того, что выражения под логарифмами должны быть \(> 0\):\[\left\{\begin{array}{l}
1 - 3x > 0\\
5x - 1 > 0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow x\in \left(\dfrac{1}{5}; \dfrac{1}{3}\right).\]Далее, запишем цепочку равносильных равенств (с учётом ОДЗ):\[\log_2(1 - 3x) = \log_4(5x - 1) \Leftrightarrow \log_2 (1 - 3x) = \frac{1}{2} \log_2 (5x - 1)\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 2 \log_2 (1 - 3x) = \log_2 (5x - 1) \Leftrightarrow (1 - 3x)^2 = 5x - 1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 9x^2 - 11x + 2 = 0 \Leftrightarrow x\in\left\{\dfrac{2}{9}, 1\right\}.\]Исходя из ОДЗ, получаем \( x = \dfrac{2}{9} \).

Ответ: \(\dfrac{2}9\).