Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 4x^2 - 2xy + 7y^2 \leqslant 1, \\ 2x - 5y \geqslant 2. \end{array} \right. \)

Решение

\begin{align*}
&\left\{
\begin{array}{l}
4x^2 - 2xy + 7y^2 \leqslant 1 \\
2x - 5y \geqslant 2
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
(2x - 5y)^2 + 9y(2x - 5y) + 27y^2 \leqslant 1 \\
2x - 5y \geqslant 2
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
2x - 5y = t \\
t^2 + 9yt + 27y^2 \leqslant 1 \\
t \geqslant 2
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
2x - 5y = t \\
t^2 + 9yt + 27y^2 \leqslant 1 \\
t \geqslant 2, \text{ добавление следствия в систему:} \\
4 + 18y + 27y^2 \leqslant 1
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
2x - 5y = t \\
t^2 + 9yt + 27y^2 \leqslant 1 \\
t \geqslant 2 \\
y = -\cfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
2x - 5y = t \\
t^2 - 3t + 3 \leqslant 1 \\
t \geqslant 2 \\
y = -\cfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
2x - 5y = t \\
1 \leqslant t \leqslant 2 \\
t \geqslant 2 \\
y = -\cfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
x = \cfrac{1}{6} \\
y = -\cfrac{1}{3}.
\end{array}
\right.
\end{align*}

Ответ: \(x=\cfrac{1}{6}, y=-\cfrac{1}{3}\).