Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) соответственно в точках \(B_1\) и \(B_2\). Общая касательная к окружностям, проходящая через точку \(A\), пересекает отрезок \(B_1B_2\) в точке \(C.\) Прямая, делящая угол \(ACO_2\) пополам, пересекает прямые \(O_1B_1, O_1O_2, O_2B_2\) в точках \(D_1, L, D_2\) соответственно. Найдите отношение \(LD_2:O_2D_2\), если известно, что \(CD_1 = CO_1.\)

Решение

Отрезки \(CB_1, CA\) и \(CB_2\) равны \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}{\text{как отрезки касательных}}\). Следовательно, \(\Delta O_1CB_1 = \Delta O_1CA, \Delta O_2CB_2 = \Delta O_2CA\). Значит, \(CO_1\) и \(CO_2\) являются биссектрисами углов \(ACB_1\) и \(ACB_2\) и, таким образом, образуют прямой угол. Стало быть, \(\angle LCO_1 = 90^{\circ} - \angle LCO_2 = 90^{\circ} - \angle LCA = \angle CLA\), то есть
\begin{equation*}
\angle D_1LO_1 = \angle LCO_1.
\end{equation*}
Пользуясь этим соотношением, получаем:
\[CD_1 = CO_1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \angle CD_1O_1 = \angle CO_1D_1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \angle D_1LO_1 = \angle LCO_1 = \angle CD_1O_1 + \angle CO_1D_1 = 2\angle CO_1D_1 = \angle D_1O_1L \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow D_1L = D_1O_1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow LD_2 = O_2D_2.\]
Последний переход получаем из \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{\text{подобия}}\) \(\triangle O_1D_1L \sim \triangle D_2O_2L\).

Ответ: \(1:1\).