В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) со сторонами \(AC = BC = 5\) и \(AB = 6\). Боковые ребра \(AS\), \(BS\) и \(CS\) пирамиды равны соответственно \(7\), \(7\) и \(4\). Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости \(ABC\) и касается прямых \(AC\) и \(BC\). Найдите высоту цилиндра.

Решение

Плоскость, проходящая через точки \(S, C, M\), где \(M\) - середина AB, будет плоскостью симметрии пирамиды. Всё основное действие будет происходить в ней, поэтому пространственного чертежа можно будет не делать, ограничившись рисунком сечения пирамиды плоскостью \(SCM\).

Плоскость верхнего основания цилиндра параллельна плоскости основания, и её точки пересечения с боковыми рёбрами мы обозначим через \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\). Верхнее основание цилиндра будет кругом, вписанным в треугольник \(A_{1} B_{1} C_{1}\), подобный треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k<1\).

Впишем окружность в треугольник \(ABC\). Легко найти все нужные нам элементы этого треугольника: высота \(CM=4\), площадь \(S=12\), полупериметр \(p=8\), откуда радиус вписанной окружности равен \(r=\dfrac{3}{2}\). Обозначим центр этой окружности через \(I\); тогда \(IM=r=\dfrac{3}{2}\) и \(CI=\dfrac{5}{2}\), то есть точка \(I\) делит отрезок \(CM\) в отношении \(5:3\). То же верно относительно окружности с центром \(I_{1}\), вписанной в треугольник \(A_{1} B_{1} C_{1}\). Она делит отрезок \(C_{1} M_{1}\) в том же отношении \(5:3\), а её радиус равен \(r_{1}=\dfrac{3}{2}k\).

При ортогональной проекции этой окружности на основание пирамиды получается окружность того же радиуса, центр которой \(I'\) лежит на прямой \(CM\). От точки C он должен быть удалён на расстояние \(\dfrac{5}{3} r_{1}\), так как отношение \(r_{1}\) к \(CI'\) равно синусу угла \(MCA\), а он равен \(MA:CA=3:5\). Таким образом, нужно подобрать значение \(k\), для которого \(CI'=\dfrac{5}{3} r_{1}=\dfrac{5}{2} k\).

Теперь имеет смысл сделать рисунок сечения, обозначая через \(H\) проекцию вершины \(S\) на прямую \(CM\). При этом \(SH\) будет высотой пирамиды, длина которой легко вычисляется. Заметим, что \(CS=CM=4\), и \(SM= \sqrt{7^2-3^2}=2 \sqrt{10}\). Угол \(SCM\) - тупой, и проекция \(H\) точки \(S\) лежит на продолжении луча \(MC\) за точку \(C\).

Длину высоты \(SH\) можно найти через площадь треугольника \(SCM\). Высота этого треугольника, опущенная из вершины \(C\), равна \( \sqrt{6}\) по теореме Пифагора, и тогда \(SH=\dfrac{2 \sqrt{10} \sqrt{6}}{4}= \sqrt{15}\). Из этого следует, что \(CH=1\) ввиду теоремы Пифагора.
Проекции точек с нижним индексом \(1\) на прямую \(MC\) будем обозначать буквами со штрихом. Тогда \(CC'=(1−k)CH=1−k\) из соображений подобия треугольников. Далее, \(C_{1} M_{1}=k \cdot CM=4k\), откуда \(C'I'=C_{1} I_{1}=\dfrac{5}{8}C_{1} M_{1}=\dfrac{5}{2}k\). Тогда \(CI'=|CC'−C'I'|=|1−\dfrac{7}{2}k|\). Именно это расстояние, как было выяснено выше, должно быть равно \(\dfrac{5}{2}k\). Составляем уравнение \(|1−\dfrac{7}{2}k|=5\dfrac{5}{2}k\), имеющее два решения, но значение \(k=1\) нам не подходит. Следовательно, \(k=\dfrac{1}{6}\). Нетрудно проверить, что точка \(I'\) будет находиться ровно посередине между \(C'\) и \(C\), а это значит, что нижнее основание цилиндра касается продолжений сторон \(AC\) и \(BC\) за точку \(C\).

Высота цилиндра равна \((1−k)SH=\dfrac{5}{6} \sqrt{15}\).

Ответ: \(\dfrac{5\sqrt{15}}6\).