Решите неравенство \(15 \cdot \left(4 + 4^{-2x}\right)^{-\frac 12} - \left( 4^{1 + 2x} + 1 \right)^{\frac 12} \geqslant 20^{\frac 12} \cdot 4^{\frac x2}\).

Решение

Сделаем замену \(t = 4^x\) и поделим обе части на \(\sqrt{t}\), помня, что \(t > 0\) : \[\frac{15}{\sqrt{4t + \frac{1}{t}}} - \sqrt{4t + \frac{1}{t}} \geqslant 20^{\frac {1}{2}}.
\] Сделаем ещё одну замену \(u = \sqrt{4t + \frac{1}{t}}\) и домножим на \(u\), помня, что \(u > 0\):\[
15 - u^2 \geqslant 20^{\frac {1}{2}}u \Leftrightarrow u^2 + 20^{\frac {1}{2}}u - 15 \leqslant 0.
\] Отсюда получаем при \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{нахождении корней}}\) и использования \(\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{метода интервалов}}\) получаем, что \(-3\sqrt{5} \leqslant u \leqslant \sqrt{5}\) и \(u > 0\), то есть:\[
0 \leqslant 4t + \frac{1}{t} \leqslant 5.
\]Ясно, что левое неравенство выполняется, когда \(t > 0\), а в правом неравенстве можно домножить на \(t\) и воспользоваться тем же самым методом интервалов, с учётом того, что 1 и \(\frac{1}{4}\) являются корнями получившегося квадратного трёхчлена и получить \(\frac{1}{4} \leqslant t \leqslant 1\) и получив в итоге \(-1 \leqslant x \leqslant 0\).

Ответ: \(-1 \leqslant x \leqslant 0\).