В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) \(KLMK'L'M'\) лежит прямоугольный треугольник \(KLM\), такой что \(KM = LM = 1\). На ребре \(K'M'\) верхнего основания (параллельном \(KM\)) отмечена точка \(N\), так что \(K'N:NM' = 3:1\). Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(KL'MN\), если высота призмы равна 1.

Решение

Обозначим объем тетраэдра \( K L' M N \), площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы,
соответственно, как \( V, S, r \). Тогда
\[
V = \frac{1}{3}rS.
\]
\(\href{https://examp.info/theorem/obem-prizmy/}{\text{Объем призмы}}\) равен \( K'K \cdot S_{K L M} = 1 \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{2} \), а \(\href{https://examp.info/theorem/obyom-tetraedra/}{\text{объем тетраэдра}}\) \( K L' M N \) равен \( \frac{1}{3} \cdot K'K \cdot S_{K L M} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{6} \).
Стало быть, \(r = (2S)^{-1}.\)

Найдем \( S \). Обозначим площади граней: \( S_{K L' M}, S_{K L' N}, S_{K M N}, S_{L' M N} \).

\(\textbf{ Грань \( K L' M \)}.\)
\( K L' = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \)
\( L' M = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),
\( KM = 1 \).
Полупериметр \( p = \frac{1 + \sqrt{2} +\sqrt{3}}{2} \).
Площадь \(\href{https://examp.info/theorem/formula-gerona/}{\text{по формуле Герона}}\):
\(
S_{K L' M} = \sqrt{p(p-KL')(p-L'M)(p-KM)} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2} +\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{2} -\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 -\sqrt{2} +\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{2} +\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

\(\textbf{ Грань \( K M N \)}.\)
\( KM = 1 \), высота из \( N \), проведенная к \( K M \) равна 1 (так как \( N \) лежит на верхнем основании). Поэтому:
\[
S_{K M N} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}.
\]

\(\textbf{Грань \( K L' N \)}. \)\[
KL' = \sqrt{3},
\]\[
L'N =\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4},
\]\[
KN =\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}.
\]
Полупериметр:
\[
p = \frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}{2} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5}{8}.
\]\[
\begin{aligned}
p - KL' = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5}{8} - \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5 - 8\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{17} + 5 - 4\sqrt{3}}{8}, \\
p - L'N = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5}{8} - \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5 - 2\sqrt{17}}{8} = \frac{4\sqrt{3} + 5 - \sqrt{17}}{8}, \\
p - KN = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5}{8} - \frac{5}{4} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5 - 10}{8} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} - 5}{8}.
\end{aligned}
\]
Площадь по формуле Герона:
\[
S_{K L' N} = \sqrt{p(p-KL')(p-KN)(p-L'N)}.
\]\[
\begin{aligned}
&p(p-KN) = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5}{8} \cdot \frac{\sqrt{17} + 5 - 4\sqrt{3}}{8} = \frac{1}{64}\left[(4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5)(\sqrt{17} + 5 - 4\sqrt{3})\right], \\
&(p-KL')(p-KN) = \frac{4\sqrt{3} + 5 - \sqrt{17}}{8} \cdot \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{17} - 5}{8} = \frac{1}{64}\left[(4\sqrt{3} + 5 - \sqrt{17})(4\sqrt{3} + \sqrt{17} - 5)\right].
\end{aligned}
\]\[
\begin{aligned}
(4\sqrt{3} + \sqrt{17} + 5)(\sqrt{17} + 5 - 4\sqrt{3}) = (\sqrt{17} + 5)^2 - (4\sqrt{3})^2 = (17 + 10\sqrt{17} + 25) - 48 = 42 + 10\sqrt{17} - 48 = 10\sqrt{17} - 6, \\
(4\sqrt{3} + 5 - \sqrt{17})(4\sqrt{3} + \sqrt{17} - 5) = (4\sqrt{3})^2 - (5 - \sqrt{17})^2 = 48 - (25 - 10\sqrt{17} + 17) = 48 - (42 - 10\sqrt{17}) = 6 + 10\sqrt{17}.
\end{aligned}
\]
Тогда произведение всех четырех множителей:
\[
p(p-KL')(p-KN)(p-L'N) = \frac{1664}{4096} = \frac{1664 \div 64}{4096 \div 64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}.
\]
Следовательно,
\[
S_{K L' N} = \sqrt{\frac{13}{32}} = \frac{\sqrt{13}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{26}}{8}.
\]

\(\textbf{ Грань \( L' M N \)}.\)
\[
L'M = \sqrt{2},
\]\[
L'N = \sqrt{\frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4},
\]\[
MN = \sqrt{\frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}.
\]
Полупериметр:
\[
p = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}}{2}
= \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}{2}
= \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{17}}{4}.
\]
\[
\begin{aligned}
p - L'M = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{17}}{4} - \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{17} - 4\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{17} - 2\sqrt{2}}{4}, \\[4pt]
p - L'N = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{17}}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\
p - MN = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{17}}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\end{aligned}
\]

Площадь по формуле Герона:
\[
S_{L' M N} = \sqrt{p(p - L'M)(p - L'N)(p - MN)} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2} +\sqrt{17} }{4} \cdot \frac{\sqrt{17} - 2\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =\]
\[= \sqrt{\frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{17})(\sqrt{17} - 2\sqrt{2})}{16} \cdot \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{((\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2)}{16} \cdot \frac{1}{2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}.
\]

\(\textbf{ Полная площадь:}\)
\[
S = S_{K L' M} + S_{K M N} + S_{K L' N} + S_{L' M N} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{26}}{8} + \frac{3\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{8}\left( 4\sqrt{2} + 4 + \sqrt{26} + 3\sqrt{2} \right).
\]

\(\textbf{ Радиус вписанной сферы:}\)
\[
r = \frac{1}{2S} = \frac{4}{4\sqrt{2} + 4 + \sqrt{26} + 3\sqrt{2}}.
\]

\[
r = \frac{4}{7\sqrt{2} + 4 + \sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{2}}{7 + 2\sqrt{2} +\sqrt{13}} = \left(1 + \frac{7 + \sqrt{13}}{2\sqrt{2}}\right)^{-1}
\]

Ответ: \(\left(1 + \frac{7 + \sqrt{13}}{2\sqrt{2}} \right)^{-1}\).