Решите уравнение \(\sin 3x = \sqrt{2} \cos x - \sin x\).

Решение

По формуле синуса тройного угла: \(\sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha\) получим, что:
\begin{gather*}
3 \sin x - 4 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos x - \sin x \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow 4 \sin x - 4 \sin^3 x - \sqrt{2} \cos x = 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow 4 \sin x \cos^2 x - \sqrt{2} \cos x = 0\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \cos x ( 4 \sin x \cos x - \sqrt{2}) = 0\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \cos x (2 \sin 2x - \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\cos x=0, \\
\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\end{array}
\right.\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x= \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
2x= \frac{\pi}{4} + 2 \pi k,\quad k\in \mathbb{Z},\ \\
2x= \frac{3\pi}{4} + 2 \pi l,\quad l\in \mathbb{Z}.\ \\
\end{array}
\right.\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x= \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
x= \frac{\pi}{8} + \pi k,\quad k\in \mathbb{Z},\ \\
x= \frac{3\pi}{8} + \pi l,\quad l\in \mathbb{Z}.\ \\
\end{array}
\right.
\end{gather*}

Ответ: \(\frac{\pi}8+\pi n\); \(\frac{3\pi}8+\pi k\); \(\frac{\pi}2+\pi m\), где \(n, k, m \in \mathbb{Z}\).