Решите неравенство \(\dfrac{\sqrt{1 - x} - 1}{\sqrt{2 + 3x} - 1} < 1.\)

Решение

\[ \dfrac{\sqrt{1 - x} - 1}{\sqrt{2 + 3x} - 1} < 1 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{1 - x} - 1}{\sqrt{2 + 3x} - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1 - x} - 1 - \sqrt{2 + 3x} + 1}{\sqrt{2 + 3x} - 1} < 0 \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{2 + 3x}}{\sqrt{2 + 3x} - 1} < 0.\]
Из сравнения дроби с нулем получаем следующие системы:
\[\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{1 - x} - \sqrt{2 + 3x} < 0, \\
\sqrt{2 + 3x} - 1 > 0,
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{1 - x} - \sqrt{2 + 3x} > 0, \\
\sqrt{2 + 3x} - 1 < 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{1 - x} < \sqrt{2 + 3x}, \\
\sqrt{2 + 3x} > 1,
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{1 - x} > \sqrt{2 + 3x}, \\
\sqrt{2 + 3x} < 1.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Rightarrow \]\[ \Rightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
x > - \frac{1}{4}, \\
x > - \frac{1}{3},
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x < - \frac{1}{4}, \\
x < - \frac{1}{3}.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x > - \frac{1}{4}, \\
x < - \frac{1}{3}.
\end{array}\right.\]
Выпишем \(\href{https://examp.info/onedef/oblast-dopustimyh-znachenij/}{\text{ОДЗ}}\) (знаменатель не равен нулю автоматически из систем выше): \[
\left\{\begin{array}{l}
1 - x \geqslant 0, \\
2 + 3x \geqslant 0.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x \leqslant 1, \\
x \geqslant - \frac{2}{3}.
\end{array}\right.\]
Пересекая полученные значения \(x\), имеем: \(x \in \left [- \dfrac{2}{3}; \text{ }- \dfrac{1}{3} \right ) \cup \left (- \dfrac{1}{4}; \text{ } 1 \right ].\)

Ответ: \(x \in \left [- \dfrac{2}{3}; \text{ }- \dfrac{1}{3} \right ) \cup \left (- \dfrac{1}{4}; \text{ } 1 \right ]\).