Решите уравнение \(\cos 3x = \cos x + \sqrt{3} \sin x.\)

Решение

Преобразуем выражение \(\cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x.\)
\(\href{https://examp.info/theorem/sinusa-kosinusa-tangensa-summy-i-raznosti-uglov/}{\text{По формуле разности косинусов}}\): \(\cos \alpha-\cos \beta = -2\cdot \sin\left(\dfrac{\left(\alpha+\beta\right)}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\left(\alpha-\beta\right)}{2}\right)\) получим, что \(-2\sin 2x \cdot \sin x = \sqrt{3}\sin x \Leftrightarrow \sin x \cdot\left(-\sqrt{3} - 2\sin 2x\right) = 0.\)

\(\left[
\begin{gathered}
\sin x = 0\\
-\sqrt{3} - 2\sin 2x = 0\\
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
\sin x = 0\\
\sin 2x=\frac{-\sqrt{3}}{2}\\
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}\ \\
2x=\frac{-\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\\
2x=\frac{-2\cdot\pi}{3} +2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}\\
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}\ \\
x=\frac{-\pi}{6} +\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\\
x=\frac{-\pi}{3} +\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}\\
\end{gathered}
\right.
\)

Ответ: \(-\frac{\pi}6+\pi n\); \(-\frac{4\pi}3+\pi k\); \(\pi m\), где \(n, k, m \in Z\).