Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sin \left(x + \frac ax \right) = x + 1 \) имеет бесконечно много решений.

Решение

Перепишем данное уравнение в виде системы
\begin{equation}
\begin{cases}
t = x + \dfrac{a}{x}, \\
\sin t = x + 1.
\end{cases}
\tag{3}
\end{equation}

Исключая из этой системы переменную \(x\), получаем еще одно уравнение
\begin{equation}
t = \sin t - 1 + \frac{a}{\sin t - 1}.
\tag{4}
\end{equation}

Существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (4) и решениями системы (3). Точно так же каждому решению системы (3) соответствует единственное решение данного уравнения. Таким образом, множество решений данного уравнения будет бесконечным в том и только в том случае, когда бесконечно много решений уравнения (4). Это уравнение можно переписать в виде
\begin{equation}
t + 1 - \sin t - \frac{a}{\sin t - 1} = 0.
\tag{5}
\end{equation}

Рассмотрим функцию \(f(t) = t + 1 - \sin t\). Она определена и \(\href{https://examp.info/onedef/nepreryvnaya-na-intervale-funkciya/}{\text{ непрерывна}}\)
[Ссылка]
Непрерывная на отрезке функция
https://examp.info/onedef/nepreryvnaya-na-intervale-funkciya/ на всей числовой прямой. Её производная \(f'(t) = 1 - \cos t\) неотрицательна и обращается в нуль в точках вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\). Отсюда следует, что \(f(t)\) монотонно возрастает на каждом отрезке \([2\pi n, 2\pi(n+1)]\), \(n \in \mathbb{Z}\), и, значит, \(f(t)\) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Из неравенств \(t \leqslant f(t) \leqslant t + 2\) следует, что множество значений этой функции составляет всю числовую прямую.

Пусть \(a = 0\). Тогда уравнение (5) принимает вид \(f(t) = 0\). Учитывая монотонность функции \(f(t)\) и тот факт, что множество ее значений совпадает с числовой прямой, заключаем, что уравнение (5) имеет единственное решение. Значит, \(a = 0\) не удовлетворяет условию задачи.

Пусть \(a < 0\). На промежутке \(\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]\) при любом целом \(k\) функция \(\sin t\) монотонно убывает от \(1\) до \(-1\). Поэтому функция \(\frac{a}{\sin t - 1}\) монотонно возрастает от \(-\infty\) до \(\frac{a}{2}\). Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке \(\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]\) от \(-\infty\) до \(\frac{a}{2}\). Значит, при любом целом \(k > \frac{|a|}{4\pi}\) левая часть уравнения (5) принимает на интервале \((\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)\) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключим, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение. Но тогда множество решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечно.

Пусть \( a > 0 \). В этом случае рассуждения проходят так же как и в предыдущем. На промежутке \([-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]\) при любом целом \( k \) функция \(\sin t\) монотонно возрастает от \(-1\) до \(1\). Поэтому функция \(\frac{1}{\sin t - 1}\) на том же промежутке убывает от \(-\frac{1}{2}\) до \(-\infty\), а функция \(\frac{-a}{\sin t - 1}\) монотонно возрастает от \(\frac{a}{2}\) до \(\infty\). Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке \([-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]\) от
\(\frac{-\pi}{2} + 2\pi k + 2 + \frac{a}{2}\)до \(\infty\). Значит, при любом целом \( k < -\frac{a}{4\pi} - \frac{1}{\pi}\) левая часть уравнения (5) принимает на интервале \((-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)\) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение.
Но тогда множества решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечны.

Ответ: \(a \not = 0\).