От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно 8 км. В 8:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. В это же время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Через 6 минут, когда рыбинспекторы были ровно посередине между биостанцией и браконьерами, браконьеры заметили катер рыбинспекции, тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. Когда браконьеры достигли границы, рыбинспекторы с чувством выполненного долга развернулись и отправились обратно на биостанцию, куда прибыли в 8:25. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры от рыбинспекторов, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Решение

Введём систему координат: начало координат (\(x = 0\)) — биостанция, положительное направление оси \(Ox\) — вниз по течению (от биостанции к границе). Граница заповедника находится в точке \(x = 8\) км.

Пусть \(v\) — собственная скорость каждого катера, \(u\) — скорость течения реки. Течение направлено в положительном направлении оси \(Ox\). Тогда
\[
v_1 = v + u \quad\text{— скорость по течению (в положительном направлении)},
\]\[
v_2 = v - u \quad\text{— скорость против течения (в отрицательном направлении)}.
\]

Движение за первые \(6\) минут:
Рассмотрим положение катеров в момент \(t = 6\) минут (относительно 8:00).

Рыбинспекторы вышли из биостанции (\(x = 0\)) и движутся по течению со скоростью \(v_1\). За 6 минут они прошли расстояние \(6v_1\), поэтому их координата
\[
x_T(6) = 6v_1.
\]
Браконьеры вышли из границы заповедника (\(x = 8\)) и движутся против течения со скоростью \(v_2\). За 6 минут они прошли расстояние \(6v_2\), поэтому их координата
\[
x_P(6) = 8 - 6v_2.
\]
Условие «посередине»:
В момент \(t = 6\) минут рыбинспекторы находятся ровно посередине между биостанцией \((x = 0)\) и браконьерами (\(x_P(6) = 8 - 6v_2\)). Середина отрезка имеет координату \(\dfrac{0 + x_P(6)}{2} = \dfrac{8 - 6v_2}{2}\). Поэтому
\[
6v_1 = \frac{8 - 6v_2}{2}.
\]\[
2v_1 + v_2 = \frac{4}{3}. \tag{1}
\]
Движение после разворота браконьеров:
В момент \(t = 6\) минут браконьеры разворачиваются и начинают двигаться по течению со скоростью \(v_1\). Пусть \(T\) — время (в минутах от начала), когда они достигают границы заповедника (\(x = 8\)). Тогда
\[
x_P(6) + v_1(T - 6) = 8.
\]
Подставляем \(x_P(6) = 8 - 6v_2\):
\[
(8 - 6v_2) + v_1(T - 6) = 8.
\]
Упрощаем:
\[
v_1(T - 6) = 6v_2. \tag{2}
\]
Движение рыбинспекторов после \(t = 6\) мин.
Рыбинспекторы продолжают движение по течению со скоростью \(v_1\) до момента \(T\). Их координата в момент \(T\):
\[
x_T(T) = x_T(6) + v_1(T - 6) = 6v_1 + 6v_2.
\]
Возвращение рыбинспекторов:
В момент \(T\) рыбинспекторы разворачиваются и движутся против течения со скоростью \(v_2\) обратно к биостанции (\(x = 0\)). Они прибывают туда в 8:25, то есть через 25 минут после начала. Следовательно, на обратный путь уходит \(25 - T\) минут. Поэтому
\[
\frac{x_T(T)}{v_2} = 25 - T.
\]
Подставляем \(x_T(T) = 6v_1 + 6v_2\):
\[
\frac{6v_1 + 6v_2}{v_2} = 25 - T \quad\Longrightarrow\quad 6\frac{v_1}{v_2} + 6 = 25 - T.
\]
Отсюда
\[
T = 19 - 6\frac{v_1}{v_2}. \tag{3}
\]
Решение системы уравнений:
Подставляем выражение для \(T\) из (3) в уравнение (2):
\[
v_1\left(19 - 6\frac{v_1}{v_2} - 6\right) = 6v_2,
\]\[
v_1\left(13 - 6\frac{v_1}{v_2}\right) = 6v_2.
\]
Умножаем на \(v_2\):
\[
13v_1v_2 - 6v_1^2 = 6v_2^2.
\]
Переносим всё в одну сторону:
\[
6v_1^2 - 13v_1v_2 + 6v_2^2 = 0.
\]
Делим на \(v_2^2\) (заметим, что \(v_2 > 0\)):
\[
6\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 13\frac{v_1}{v_2} + 6 = 0.
\]
Обозначим \(k = \dfrac{v_1}{v_2} > 1\). Получаем квадратное уравнение:
\[
6k^2 - 13k + 6 = 0.
\]
Дискриминант \(D = 169 - 144 = 25\), корни:
\[
k = \frac{13 \pm 5}{12}.
\]
Подходят \(k_1 = \dfrac{18}{12} = 1{,}5\) и \(k_2 = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\). Так как \(k > 1\), берём \(k = 1{,}5\). Следовательно,
\[
\frac{v_1}{v_2} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = 1{,}5\,v_2. \tag{4}
\]
Подставляем (4) в уравнение (1):
\[
2 \cdot (1{,}5\,v_2) + v_2 = \frac{4}{3},
\]\[
3v_2 + v_2 = \frac{4}{3},
\]\[
4v_2 = \frac{4}{3},
\]\[
v_2 = \frac{1}{3}\ \text{км/мин}.
\]
Тогда
\[
v_1 = 1{,}5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ \text{км/мин}.
\]
Нахождение наименьшего расстояния:
Расстояние между катерами в момент разворота браконьеров (\(t = 6\) минут):
\[
S = x_P(6) - x_T(6) = (8 - 6v_2) - 6v_1.
\]
Подставляем найденные значения:
\[
x_P(6) = 8 - 6 \cdot \frac{1}{3} = 8 - 2 = 6\ \text{км},
\]\[
x_T(6) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\ \text{км},
\]\[
S = 6 - 3 = 3\ \text{км}.
\]
После \(t = 6\) минут и до момента \(T\) оба катера движутся в одном направлении (вниз по течению) с одинаковой скоростью \(v_1\). Поэтому расстояние между ними остаётся постоянным и равным 3 км. До момента \(t = 6\) минут катера сближались, а после момента \(T\) они удаляются друг от друга. Следовательно, наименьшее расстояние равно 3 км.

Ответ: \(3\) км.