В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелый», развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрый» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелый» до «Быстрый», на «Смелый» осознали, что идут с «Быстрый» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катеры вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Решение

В момент выхода «Смелого» из села Нижнее расстояние между катерами составляло 500 м. Так как против течения реки они двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда «Смелый», развернувшись, двинулся назад в сторону Нижнего, расстояние между «Смелым» и «Быстрым» составляло 500 м. Согласно условию в этот момент расстояние по реке от «Быстрого» до села Верхнее также составляло 500 метров. Эти последние 500 метров пути катер «Быстрый» проплыл за 4 минуты, двигаясь против течения. Следовательно, его скорость относительно берега при движении против течения реки равна \(500/4 = 125\) м/мин.

Пусть \(S\) метров — расстояние между сёлами Верхнее и Нижнее и \(v\) м/мин — скорость катеров относительно берега при движении по течению реки. Ясно, что \(v > 125\).

Из сказанного выше следует, что в момент разворота катера «Смелый» расстояние по реке от него до села Верхнее равнялось 1000 метров, а длина обратного пути «Смелого» до села Нижнее равнялась \(S - 1000\) метров. «Смелый» проплыл этот путь по течению реки за 4 минуты, поэтому \(S - 1000 = 4v\) или \(S = 4v + 1000\) метров.

По условию катер «Быстрый» до разворота проплыл \(S - 500\) метров, затратив на весь свой путь 18 минут. Поэтому
\[
\frac{S - 500}{125} + \frac{S - 500}{v} = 18.
\]

Подставляя в это равенство \(1000 + 4v\) вместо \(S\) и обозначая для краткости \(x = \frac{v}{125}\), приходим к уравнению
\[
2x + \frac{2}{x} = 5.
\]

Решая это уравнение, находим корни \(x_1 = 2\), \(x_2 = 1/2\). Учитывая, что \(x > 1\), получаем: \(x = 2\), \(v = 250\) и \(S = 2000\). Стало быть, искомое расстояние равно 2 км.

Ответ: \(2\) км.