В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{2}.\) Найдите расстояния между \(\href{https://examp.info/onedef/skreshivayushiesya-pryamye/}{\text{скрещивающимися}}\) диагоналями боковых граней.

Решение

Пусть \(ABC\) и \(A'B'C'\) являются основаниями призмы. \(AA', BB', CC'\) \(-\) ее боковые стороны. Поскольку все пары скрещивающихся диагоналей боковых граней переходят друг в друга при помощи поворота относительно оси симметрии призмы и симметрии относительно вертикальных плоскостей симметрии, не ограничивая общности, можно взять диагонали \(AB'\) и \(BC'\).
Расстояние между прямыми \(AB'\) и \(BC'\) достигается на отрезке \(XY\) с концами на этих прямых, перпендикулярном им обеим. Проведем через точку \(B'\) прямую, параллельную \(BC'\). Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \(CB\) через \(D\). Отрезок \(XY\) перпендикулярен прямой \(BC'\) и плоскости \(AB'D\). Следовательно, его длина равна расстоянию от точки \(B\) до плоскости \(AB'D\). Остается найти это расстояние.
Обозначим длину стороны основания через \(a\), а высоту призмы через \(h\). Рассмотрим три попарно ортогональные прямые \(-\) \(BD, BB'\) и \(l\), тоже проходящую через точку \(B\). Плоскость \(AB'D\) отсекает на оси \(BD\) отрезок \(a\), на оси \(BB'\) \(-\) отрезок \(h\), на оси \(l\) \(-\) отрезок \(BH = a \cdot \mathop{\mathrm{tg}}30^{\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\) (см. плоский чертеж).
Значит, в соответствующей этим прямым системе координат \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah/}{\text{уравнение плоскости}}\) \(AB'D\) будет следующим:
\begin{equation*}
\frac{x}{a} + \frac{y}{h} + \frac{z\sqrt{3}}{a} = 1.
\end{equation*} или
\[hx + ay +h\sqrt{3}z - ah = 0.\] Так как точка \(B\) имеет координаты (0, 0, 0), то \(\href{https://examp.info/theorem/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti/}{\text{расстояние от B до плоскости}}\) \(AB'D\) равно:
\begin{equation*}
\frac{|-ah|}{\sqrt{h^2 + a^2 + 3h^2}}=\frac{ah}{\sqrt{a^2 + 4h^2}}.
\end{equation*} Для \(a = 1\) и \(h = \sqrt{2}\) получаем \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\).