Решите неравенство \((9^x - 3^{x + 2} + 14) \cdot \sqrt{4 - 2^x} \leqslant 0\).

Решение

Найдем область определения неравенства - выражение под корнем должно быть неотрицательно: \(4 - 2^x \geqslant 0 \Leftarrow 2 \geqslant x\). Заметим, что это выражение не может быть отрицательным, поэтому на знак неравенства влиять не будет. В ответ же пойдёт точка, в которой корень обнуляется, то есть 2.

Сделаем замену \(t = 3^x.\) Тогда наше выражение примет вид:
\[t^2-9t+14 = (t-7)(t-2).\]
Значит:
\begin{gather*}
(t-7)(t-2) \leqslant 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow(3^x-7)(3^x-2) \leqslant 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow (3^x-7^{log_{3} 3})(3^x-2^{log_{3} 3}) \leqslant 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow (3^x-3^{log_{3} 7})(3^x-3^{log_{3} 2}) \leqslant 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow (x-log_{3} 7)(x-log_{3} 2) \leqslant 0\quad (\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{по методу рационализации}}).
\end{gather*}
\(\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{По методу интервалов}}\) получаем ответ: \([\log_3 2; \log_3 7]\cup\{2\}\).

Ответ: \([\log_3 2; \log_3 7]\cup\{2\}\).