Решите систему неравенств: \(\left\{ \begin{array}{l} 3x^2 + 4xy + 12y^2 \leqslant 1, \\ 5x + 6y \leqslant-3. \end{array} \right.\)

Решение

\(\bf \text{Решение 1}\)
Преобразуем первое неравенство:
\[3\left(x^2 + \dfrac{4}{3} xy + \dfrac{4}{9} y^2\right) - \dfrac{4}{3} y^2 + 12y^2 \leqslant 1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 3\left(x + \dfrac{2}{3} y\right)^2 + \dfrac{32}{3} y^2 \leqslant 1 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow (3x + 2y)^2 + 32y^2 \leqslant 3.\]
Теперь второе:
\[5x + 6y \leqslant -3 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} (3x + 2y) - \dfrac{10}{3} y + 6y \leqslant -3 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} (3x + 2y) + \dfrac{8}{3} y \leqslant -3 \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow 5(3x + 2y) + 8y \leqslant -9.\]
Сделаем замену: \((3x + 2y) = a, \text{ } 8y = b\).
Получим систему: \[
\left\{\begin{array}{l}
2a^2 + b^2 \leqslant 6, \\
5a + b \leqslant -9.
\end{array}\right.\]
Сделаем еще одну замену: \(\sqrt{2}a = u, \text{ } b = v.\)
Получим: \[
\left\{\begin{array}{l}
u^2 + v^2 \leqslant 6, \\
\frac{5}{\sqrt{2}}u + v \leqslant -9.
\end{array}\right.\]
Заметим, что первое неравенство описывает круг радиуса \(\sqrt{6}\) вместе со своей границей. Второе неравенство - полуплоскость.
Заменив неравенства на уравнения, узнаем, каким образом пересекаются эти фигуры.
\[v = - 9 - \dfrac{5}{\sqrt{2}}u\] \[ u^2 + \left(- 9 - \dfrac{5}{\sqrt{2}}u\right)^2 = 6 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow u^2 + 81 + 45 \sqrt{2}u + \frac{25}{2}u^2 = 6 \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow 27u^2 + 90 \sqrt{2}u + 2 \cdot 75 = 0 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 9u^2 + 30 \sqrt{2}u + 2 \cdot 25 = 0 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow (3u + 5 \sqrt{2})^2 = 0.\] \[u = - \dfrac{5\sqrt{2}}{3} \Rightarrow v = - 9 - \dfrac{5}{\sqrt{2}}u = - 9 + \dfrac{25}{3} = - \dfrac{2}{3}.\]
Т. к. полуплоскость, задаваемая вторым неравенством системы, лежит во внешности круга, то последняя система имеет единственное решение \((u,v) = \left(- \dfrac{5\sqrt{2}}{3}, - \dfrac{2}{3}\right).\)
Отсюда найдем решение исходной системы
\[y = \dfrac{b}{8} = \dfrac{v}{8} = - \dfrac{1}{12}.\]\[x = \dfrac{a - 2y}{3} = \dfrac{\dfrac{u}{\sqrt{2}} - 2y}{3} = \dfrac{- \dfrac{5}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{12}}{3} = - \dfrac{9}{6 \cdot 3} = - \dfrac{1}{2}.\]
\(\underline{Замечание:} \text{ } 2a^2 + b^2 = 6 \text{ } - \) уравнение эллипса.
\(\bf \text{Решение 2}\)
\[5x+6y\leqslant-3\Rightarrow(5x+6y)^2\geqslant 9\Leftrightarrow-25x^2-60xy-36y^2\leqslant-9.\] Сложим последнее неравенство с первым неравенством системы, умноженным на 9. Получим
\[2x^2-24xy+72y^2\leqslant0\Leftrightarrow2(x-6y)^2\leqslant0\Leftrightarrow x=6y.\]При этом во всех неравенствах должны выполняться равенства: \(x=6y\), \(5x+6y=-3\). Отсюда \(x=-\dfrac12\), \(y=-\dfrac1{12}\). Подставив эти значения в первое неравенство системы, убеждаемся, что оно выполняется.

Ответ: \(\left(-\dfrac12, -\dfrac1{12}\right)\).