Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны \(-\frac 47\) и \(\frac 53\), а свободный член равен -2.

Решение

Представим многочлен в виде: \(f(x) = ax^2+bx-2.\)
Так как \(-\frac{4}{7}\) и \(\frac{5}{3}\) - его корни, то \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-vieta/}{\text{по теореме Виета}}\):
\[-\frac{4}{7}\cdot\frac{5}{3} = \frac{c}{a}=\frac{-2}{a} \Leftrightarrow a = \frac{2\cdot7\cdot3}{4\cdot5} = \frac{21}{10};\]
\[-\frac{4}{7} + \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}=-\frac{10b}{21} \Leftrightarrow \frac{23}{21} = -\frac{10b}{21} \Leftrightarrow b = -\frac{23}{10}.\]
Значит искомым многочленом будет: \(\frac{21}{10}x^2-\frac{23}{10}x-2\).

Ответ: \(\frac{21}{10}x^2-\frac{23}{10}x-2\).