Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{10^x}{25^{x - 1} + 10^x + 4^{x+1}}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Решение

\(\textbf{Решение 1}\)
Преобразуем функцию \[ \dfrac{10^x}{4^{x + 1} + 10^x + 25^{x - 1}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{10^x}(4^{x + 1} + 10^x + 25^{x - 1})} = \dfrac{1}{4 \left(\dfrac{2}{5}\right)^x + 1 + \dfrac{1}{25} \left(\dfrac{5}{2}\right)^x }.\]
Обозначим \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x = t\), \(g(t) = 4t + 1 + \dfrac{1}{25t} \).
Чтобы изначальная функция имела наибольшее значение, нужно найти наименьшее значение знаменателя \(g(t)\) .
Посмотрим на производную \(g(t)\): \(g'(t) = 4 - \dfrac{1}{25t^2}\). Она равна 0 в точках \(t = \pm \dfrac{1}{10}\). Переменная \(t\) неотрицательна, при \(t \in \left(0; \dfrac{5}{2}\right)\) производная \(g'(t)\) принимает отрицательные значения, а при \(t > \dfrac{1}{10}\) \(-\) положительные, т.е. точка \(t = \dfrac{1}{10}\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{точка минимума}}\).
Подставим это значение: \(g\left(\dfrac{1}{10}\right) = 4\cdot \dfrac{1}{10} + 1 + \dfrac{10}{25} = \frac{2}{5} + 1 + \frac{2}{5} = \frac{9}{5}.\) Значит максимальное значение первоначальной функции \(\dfrac{5}{9}\).
Найдем \(x\), при котором достигается нужное значение: \( \left(\dfrac{2}{5}\right)^x = \dfrac{1}{10}.\) Значит \(x = \log_{\frac{2}{5}} \dfrac{1}{10} = -\log_{\frac{2}{5}} 10 = \log_{\frac{5}{2}} 10.\)

\(\textbf{Решение 2}\)
Рассмотрим знаменатель и воспользуемся \(\href{https://examp.info/onedef/neravenstvo-o-srednem-arifmeticheskom-i-srednem-geometricheskom/}{\text{неравенством о средних}} \):
\(4t + \frac{1}{25t} \geqslant 2 \sqrt{\frac{4t}{25t}} = \frac{4}{5}\). Тогда выражение в знаменателе не меньше \(\frac{9}{5}\). Следовательно вся дробь не более \(\frac{5}{9}\). Так как нам нужно наибольшее значение, то оно достигается в \(\frac{5}{9}\).
Решим такое уравнение: \[
4t + \frac{1}{25t} = \frac{4}{5};\] \[
100t^2 - 20t + 1 = 0;\] \[
(10t - 1)^2 = 0.\]
Значит, наибольшее значение достигается при \(t = \frac{1}{10}\).
Нахождение \(x\) можно посмотреть в решении 1.

Ответ: \(f_{max}=\frac{5}{9}; x=\log_{\frac52} 10\).