Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же двух боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой равен 1?

Решение

Введем систему координат: \(А -\) начало координат, вдоль \(AD\) ось \(Ox\), вдоль \(AB\) \(-\) ось \(Oy\), вдоль \(AA'\) \(-\) ось \(Oz\).
Пусть \(x\) \(-\) радиус второй сферы.
Координаты центра первой сферы \(O_1 = (1, \text{ } 1, \text{ } 1)\), центра второй \(O_2 = (x, \text{ } x, \text{ } 3 - x)\).
Соединив центры сфер, получим отрезок длины \(1 + x = O_1O_2\) (сумма длин радиусов). При этом \(O_1O_2 = \sqrt{ (x - 1)^2 + (x - 1)^2 + (3 - x - 1)^2 } = \sqrt{2x^2 - 4x + 2 + 4 - 4x + x^2} = \sqrt{3x^2 - 8x + 6}.\)
Возводя в квадрат, не забываем, что \(x > -1\): \(3x^2 - 8x + 6 = x^2 + 2x + 1 \Leftrightarrow 2x^2 - 10x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt{15}}{2}\).
Сравним \(\dfrac{5 + \sqrt{15}}{2}\) с 3. 3 меньше, значит сфера с таким радиусом не могла оказаться внутри куба с ребром 3.
Значит радиус второй сферы равен \(\dfrac{5 - \sqrt{15}}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{5 - \sqrt{15}}2\).