Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \( \sin \left(x - a \ln |x| \right) = x + 1 \) имеет бесконечно много решений.

Решение

Перепишем данное уравнение в виде системы:\[
\left\{ \begin{array}{l} t = x - a\ln|x| \\ \sin t = x + 1 \end{array} \right.
\] Исключая из этой системы переменную \(x\), получаем ещё одно уравнение:\[
t = \sin t - 1 - a\ln|\sin t|.
\] Существует взаимно-однозначное соответствие между решениями данного уравнения и решениями системы выше. Точно так же каждому решению системы соответствует единственное решение данного в условии задачи уравнения и наоборот, каждому решению данного уравнения соответствует единственное решение системы. Таким образом, множество решений данного уравнения будет бесконечным в том и только том случае, когда бесконечно множество решений уравнения по переменной \(t\). Это уравнение можно переписать в виде.\[
t - \sin t + 1 + a\ln|\sin t| = 0. \tag{*}
\]Рассмотрим функцию \(f(t) = t + 1 - \sin t\). Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная \(f'(t) = 1 - \cos t\) неотрицательна, и обращается в нуль в точках вида \(2\pi n, n \in \mathbb{Z}\). Отсюда следует, что \(f(t)\) монотонно возрастает на каждом отрезке \([2\pi n, 2\pi(n+1)]\), \(n \in \mathbb{Z}\), и, значит, \(f(t)\) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Из неравенства \(t \leq f(t) \leq t + 2\) следует, что множество значений этой функции составляет всю числовую прямую.

Пусть \(a = 0\). Тогда уравнение (*) принимает вид \(f(t) = 0\). Учитывая монотонность функции \(f(t)\) и тот факт, что множество её значений совпадает с числовой прямой, заключаем, что данное уравнение имеет единственное решение. Значит, \(a = 0\) не удовлетворяет условию задачи.

Пусть \(a < 0\). На промежутке \(\left[ \frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k \right]\) при чётном целом \(k\) функция \(\sin t\) монотонно убывает от \(1\) до \(0\), если \(k\) нечётное, то монотонно возрастает от -1 до 0. Поэтому функция \(\ln |\sin t|\) на этих же промежутках убывает от 0 до \(-\infty\), а функция \(a\ln{|\sin t|}\) монотонно возрастает от \(0\) до \(\infty\). Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (*) также возрастает на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k \right]\) от \(\frac{\pi}{2} + \pi k + 1 - (-1)^k\) до \(\infty\). Значит, при целом \(k\), который меньше -2 левая часть уравнения (*) принимает на интервале \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k \right)\) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (*) имеет решение. Но тогда множества решений уравнения (*) и данного уравнения бесконечны.

Пусть \(a > 0\), в этом случае рассуждения проходят так же как и в предыдущем. На промежутках \(\left[ \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k \right]\) при любом целом \(k\) функция \(|\sin t|\) монотонно возрастает от \(0\) до \(1\). Поэтому функция \(\ln|\sin t|\) на том же промежутке возрастает от \(-\infty\) до \(0\), а функция \(a\ln{|\sin t|}\) монотонно возрастает от \(-\infty\) до \(0\). Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (*) также возрастает на отрезке \(\left[ \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k \right]\) от \(-\infty\) до \(\frac{\pi}{2} + \pi k + 1 - (-1)^k\). Значит, при целом \(k\) большим 1 левая часть уравнения (*) принимает на интервале \(\left( \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k \right)\) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (*) имеет решение. Но тогда множества решений уравнения (*) и данного уравнения бесконечны.

Замечание: При этом мы считаем, что свойства монотонности и теорема о промежуточном значении непрерывной функции можно пользоваться без доказательства.

Ответ: \(a \not = 0\).