Решите уравнение \(\sin^2 x + \sqrt{2} \cdot |\sin x| \cdot \cos \left( \frac{5x}{2} - \frac{5\pi}{8} \right) + \frac 12 = 0\).

Решение

Поскольку решения уравнения \(|\sin x| = 0\) не являются решениями исходного уравнения, то данное уравнение равносильно
\begin{equation*}
\cos \left( \frac{5x}{2} - \frac{5\pi}{8} \right) = -\sqrt{2}\left(|\sin x| + \frac{1}{2|\sin x|}\right).
\end{equation*}
По \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству между средними}}\), получаем:
\[-\sqrt{2}\left(|\sin x| + \frac{1}{2|\sin x|}\right)\leqslant\ -\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=-1\]
Видим, что правая часть меньше -1 и равна -1 тогда и только тогда, когда \(|\sin x| = \frac{1}{2|\sin x|}\). Получаем систему:
\begin{gather*}
\left \{
\begin{array}{l}
\cos \left( \frac{5x}{2} - \frac{5\pi}{8} \right)=-1,\\
|\sin x| = \frac{1}{2|\sin x|}.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
\frac{5x}{2} = \frac{5\pi}{8} + \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, \\
\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
x = \frac{13\pi}{20} + \frac{4\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} , \\
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}.
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow x=\frac{9\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}.
\end{gather*}

Ответ: \(\frac{9\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\).