Найдите все пары действительных чисел \(x\), \(y\), удовлетворяющих соотношению
\begin{equation*}
\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy}=2\sqrt{\mathstrut 2-\sqrt{\mathstrut xy}}\sqrt[4]{\mathstrut xy}.
\end{equation*}

Решение

Чтобы выражение имело смысл, необходимо чтобы выполнялось
\(\left\{ \begin{array}{l}
2-\sqrt {xy} \geqslant 0\\
xy > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < xy \leqslant 4.\)

Рассмотрим левую часть равенства: \(\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy}\). Пользуясь \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-o-srednem-arifmetichekom-i-srednem-geometricheskom/}{\text{неравенством о средних при n=2}}\) получаем, что
\begin{equation*}
\dfrac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy} \geqslant xy+\dfrac{1}{xy}\geqslant 2
\end{equation*}
при любых \(x,y\).

Рассмотрим правую часть равенства: \(2\sqrt{\mathstrut 2-\sqrt{\mathstrut xy}}\sqrt[4]{\mathstrut xy}\). Запишем его в виде
\begin{equation*}
2\sqrt{\mathstrut (2-\sqrt{\mathstrut xy}) \sqrt{\mathstrut xy}}.
\end{equation*}
Рассмотрим подкоренное выражение:
\begin{equation*}
(2-\sqrt{\mathstrut xy}) \sqrt{\mathstrut xy} = -xy +2\sqrt{\mathstrut xy}.
\end{equation*}

Оно будет меньше или равно \(1\):
\begin{equation*}
-xy +2\sqrt{\mathstrut xy} \leq 1 \Leftrightarrow xy -2\sqrt{\mathstrut xy} + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow (\sqrt{\mathstrut xy}-1)^2 \geqslant 0.
\end{equation*}

Тогда правая часть выражения будет \(\leqslant 2\) при любых \(x,y\).

Равенство правой и левой частей будет только тогда, когда они обе равны \(2 \Rightarrow\)

\begin{equation*}
xy + \frac{1}{xy} = 2 \Rightarrow xy = 1,
\end{equation*}

и причём

\begin{equation*}
\frac{x^2+y^2}{2}=xy \Rightarrow (x-y)^2 = 0 \Rightarrow x = y.
\end{equation*}

Из чего получаем два решения: \(x = y = 1\), \(x = y = -1\).

Ответ: \(x = y = 1\), \(x = y = -1\).