Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{-5x -3} < x^{-7}\).

Решение

Для положительных \(x\):
\begin{gather*}
x^{-5x -3} < x^{-7} \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow x^{5x-4} > 1 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \left( 5x-4 \right) \ln x > 0
\Leftrightarrow \ \\
\left\{
\begin{array}{l}
x > 0, \\
\left(5x-4\right)\left(x-1\right) > 0.
\end{array} \right.\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow x \in \left(0,\dfrac45\right) \cup (1, + \infty)(\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{по методу интервалов}}).
\end{gather*}

Ответ: \(x \in (0,{\textstyle{4 \over 5}}) \cup (1, + \infty )\).