Решите уравнение \(\log_3(2x + 1) = \log_9(4 + 3x)\).

Решение

Применим \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma}{\text{свойства логарифмов:}}\)
\[\log_3 (2x + 1) = \log_9 (4 + 3x). \Rightarrow\]\[\Rightarrow \log_3 (2x + 1) = \log_{3^2} (4 + 3x). \Rightarrow\]\[\Rightarrow \log_3 (2x + 1) = \log_3 (4 + 3x)^{\frac{1}{2}}. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 2x + 1 = (4 + 3x)^{\frac{1}{2}}.\]
Найдём \(\href{https://examp.info/onedef/oblast-dopustimyh-znachenij/}{\text{ОДЗ(область допустимых значений)}}\):
\[\left\{\begin{array}{l}
2x + 1 > 0, \\
4 + 3x >0.
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x > - \frac{1}{2}, \\
x > -\frac{4}{3}.
\end{array}\right.\]
Тогда можем возвести в квадрат последнее равенство:
\[2x + 1 = (4 + 3x)^{\frac{1}{2}}. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 4x^2 + 4x + 1= 4 + 3x. \Rightarrow\]\[\Rightarrow 4x^2 + x - 3 = 0.\]
\(D = 1^2 -16 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2.\)

\(x = \dfrac{-1 \pm 7}{8} =
\left[
\begin{array}{l}
\frac{3}{4}, \\
-1.
\end{array}\right.\)
При условии ОДЗ остается, что \(x = \frac{3}{4}.\)

Ответ: \(\frac{3}4\).