Решите неравенство \(9 \cdot \left(1 + 5^{1 - 2x}\right)^{-\frac 12} - \frac 12 \cdot \left( 5^{2x} + 5 \right)^{\frac 12} \geqslant 6^{\frac 12} \cdot 5^{\frac x2}.\)

Решение

Сделаем замену \( t = 5^x \) и поделим обе части неравенства на \(\sqrt{t}\), помня, что \( t > 0 \):
\[
\frac{9}{\sqrt{t + \frac{5}{t}}} - \frac{1}{2} \sqrt{t + \frac{5}{t}} \geqslant \sqrt{6}
\]

Сделаем еще одну замену \( u = \sqrt{t + \frac{5}{t}} \) и домножим на \( u \), помня, что \( u > 0 \):
\[
u^2 + 2\sqrt{6}u - 18 \leqslant 0
\]

Отсюда получаем, что \(-3\sqrt{6} \leqslant u \leqslant \sqrt{6}\) и \( u > 0 \), то есть
\[
0 < t + \frac{5}{t} \leqslant 6.
\]

Стало быть, \( 1 \leqslant t \leqslant 5 \), то есть \( 0 \leqslant x \leqslant 1 \).

Ответ: \(0 \leqslant x \leqslant 1\).