Определите, какое из двух чисел больше: \(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}\) или \(3\).

Решение

\(\textbf{Решение 1}\)

Возведём выражение слева в квадрат:

\begin{equation*}
\left(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}\right)^2=3+2\sqrt{\mathstrut 2}+2{\sqrt{\mathstrut (3+2\sqrt{\mathstrut 2})\cdot(3-2\sqrt{\mathstrut 2})}}+3-2{\sqrt{\mathstrut 2}}=6+2{\sqrt{\mathstrut 9-8}}=8.
\end{equation*}

Заметим, что \(8<9\). Следовательно,

\begin{equation*}
\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}<3.
\end{equation*}

\(\textbf{Решение 2}\)

\[\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}=\sqrt{\left(1+\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2} +\sqrt{\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2}=\]\[\left|1+\sqrt{\mathstrut 2}\right|+\left|1-\sqrt{\mathstrut 2}\right|=1+\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 2}-1=2\sqrt{\mathstrut 2}<3.\]

Ответ: \(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}<3\).