Решите уравнение \({\cos 2x} + 6\sin 2x=\cos 4x + 6\sin x\).

Решение

\begin{equation*}
{\cos 2x} + 6\sin 2x=\cos 4x + 6\sin x
\quad\Leftrightarrow\quad
6(\sin 2x-\sin x)=\cos 4x -\cos 2x.
\end{equation*}
Применяя формулы разности синусов и косинусов приходим к
\begin{equation*}
12\sin \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2} = -2\sin 3x \sin x.
\end{equation*}
По формуле синуса двойного угла для \(\sin 3x\) и \(\sin x\) получим
\begin{equation*}
12\sin \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2} = -8\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}
\end{equation*}
Поделим на \(-4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2},\) решив необходимые уравнения позднее, и получим
\begin{equation*}
-3 = 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}
\end{equation*}
Применим формулу суммы синусов в обратную сторону и получим \(-3 = \sin 2x + \sin x,\) уравнение не имеет решений, т.к. \(|\sin t| \leqslant 1\) при любом \(t\in\mathbb{R}.\)

Осталось решить два уравнения: \(\sin \frac{x}{2}=0\) и \(\cos \frac{3x}{2} = 0.\)

\begin{equation*}
1) \quad \frac{x}{2} =\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
\end{equation*}

\begin{equation*}
2) \quad \frac{3x}{2} =\dfrac{\pi}{2} +\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow\quad x= \dfrac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} n,\quad n\in\mathbb{Z}
\end{equation*}
\(\textbf{Замечание:}\) ответ может быть записан в виде\(\quad x= k\pi,\quad \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.\)

Ответ: \(x=2\pi k,\ \ k\in\mathbb{Z};\quad x= \dfrac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} n,\ \ n\in\mathbb{Z}\).