Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение
\[
\cos(2 + a\ln|x|) = x - 1
\]
имеет бесконечно много решений.

nepreryvnyh-funkcij

Решение

Перепишем данное уравнение в виде системы
\[
\begin{cases}
t = 2 + a\ln|x|, \\[4pt]
\cos t = x - 1.
\end{cases} \tag{1}
\]

Исключая из этой системы переменную \( x \), получаем уравнение
\[
t = 2 + a\ln|\cos t + 1|. \tag{2}
\]

Существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (2) и решениями системы (1). Точно так же каждому решению системы (1) соответствует единственное решение данного в условии задачи уравнения и наоборот, каждому решению данного уравнения соответствует единственное решение системы (1). Таким образом, множество решений данного уравнения будет бесконечным в том и только в том случае, когда бесконечно множество решений уравнения (2). Это уравнение можно переписать в виде
\[
t - 2 - a\ln|\cos t + 1| = 0. \tag{3}
\]

Рассмотрим функцию \( f(t) = t - 2 \). Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная \( f'(t) = 1 \) положительна везде. Отсюда следует, что \( f(t) \) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Очевидно, множество значений этой функции составляет всю числовую прямую.

\(\textbf{1. Случай } a = 0.\)
Тогда уравнение (3) принимает вид \( f(t) = 0 \). Учитывая монотонность функции \( f(t) \) и тот факт, что множество её значений совпадает с числовой прямой, заключаем, что уравнение (3) имеет единственное решение. Значит, \( a = 0 \) не удовлетворяет условию задачи.

\(\textbf{2. Случай } a < 0.\)
Функция \( g(t) = \ln|\cos t + 1| \) определена при \( \cos t \neq -1 \), т.е. при \( t \neq \pi + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \). На каждом интервале \( (\pi + 2\pi k, \pi + 2\pi(k+1)) \) функция \( \cos t + 1 \) меняется от \( 0^+ \) до \( 2 \) и обратно до \( 0^+ \), поэтому \( g(t) \) меняется от \( -\infty \) до \( \ln 2 \) и обратно до \( -\infty \). При \( a < 0 \) функция \( a g(t) \) будет возрастать на тех участках, где \( g(t) \) убывает, и наоборот.

Рассмотрим, например, левую окрестность точки \( t = \pi + 2\pi k \). При \( t \to (\pi + 2\pi k)^- \) имеем \( \cos t + 1 \to 0^+ \), значит \( g(t) \to -\infty \), и тогда \( a g(t) \to +\infty \) (поскольку \( a < 0 \)). При \( t \to (\pi + 2\pi k)^+ \) также \( a g(t) \to +\infty \). В середине интервала, где \( \cos t + 1 \) достигает максимума 2, значение \( a g(t) \) минимально и равно \( a \ln 2 < 0 \). Таким образом, функция \( h(t) = t - 2 - a\ln|\cos t + 1| \) на каждом интервале \( (\pi + 2\pi k, \pi + 2\pi(k+1)) \) принимает как сколь угодно большие положительные значения (вблизи концов интервала), так и отрицательные значения (в средней части интервала). Поскольку \( h(t) \) \(\href{https://examp.info/theorem/nepreryvnyh-funkcij/}{\text{непрерывна}}\) на этих интервалах, \(\href{https://examp.info/theorem/nepreryvnyh-funkcij/}{\text{по теореме о промежуточном значении}}\) она обращается в нуль на каждом таком интервале. Следовательно, уравнение (3) имеет бесконечно много решений.

\(\textbf{3. Случай } a > 0.\)
Рассуждения аналогичны. При \( a > 0 \) функция \( a g(t) \) ведёт себя так же, как \( g(t) \), но умноженная на положительное число. Вблизи точек \( t = \pi + 2\pi k \) имеем \( g(t) \to -\infty \), значит \( a g(t) \to -\infty \). В середине интервала, где \( \cos t + 1 = 2 \), значение \( a g(t) \) максимально и равно \( a \ln 2 > 0 \). Функция \( h(t) = t - 2 - a\ln|\cos t + 1| \) на каждом интервале \( (\pi + 2\pi k, \pi + 2\pi(k+1)) \) принимает как сколь угодно большие отрицательные значения (вблизи концов интервала), так и положительные значения (в средней части интервала). В силу непрерывности \( h(t) \) она обращается в нуль на каждом таком интервале. Следовательно, уравнение (3) также имеет бесконечно много решений.

Ответ: \(a \not = 0\).