Найдите площадь фигуры, состоящей из точек \((x, y)\) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению \( |2y - x| + 2|y + 4| + |x| = 8.\)

Решение

Рассмотрим прямые \(y=\frac{x}{2};\quad y=-4;\quad x=0\) - они будут делить нашу плоскость на \(7\) частей (см. рисунок), где модули в выражении будут раскрываться с разными знаками. Раскрывая модули, и пересекая полученные уравнения с областями мы будем получать либо точку, либо прямую, либо область. Все пересечения и будут образовывать фигуру, площадь которой мы ищем.

\[\begin{array}{ |c|c|c|c|c| }
\hline
& |2y - x| & |y+4| & |x|& \text{выражение} \\ \hline
1 & + & + & - & 4y-2x=0\\ \hline
2 & + & + & + & 4y=0\\ \hline
3 & - & + & + & 2x=0\\ \hline
4 & - & - & + & x-2y=8\\ \hline
5 & - & - & - & -4y=16\\ \hline
6 & + & - & - & -2x=16\\ \hline
7 & - & + & - & x-2y+2y+8-x=8 \Leftrightarrow 0=0\\
\hline
\end{array}\]

Из чего следует, что наша фигура - треугольник, ограниченный прямыми \(y=\frac{x}{2};\quad y=-4;\quad x=0\). Его площадь \(S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4 = 16.\)

Ответ: \(16\).